PG(k-1, q)

$ \Sigmaと名付けることが多い

$ \Sigma:=\mathrm{PG}(k-1,q)

PG(2, q)の一般化

前提

$ n ≥ k ≥ 3

$ C は$ [n, k, d]_q 符号

$ G を$ C の生成行

$ G は 0 列を含まない

性質

$ \Sigmaの点の個数 = $ \Sigmaの超平面の個数 = $ \theta_{k-1} = $ \frac{q^k-1}{q-1}=q^{k-1}+q^{k-2}+\cdots+q+1

$ \Sigmaの異なる2点を含むlineは、唯一存在する

$ \Sigmaのt-flatである$ Tに対して、

$ Tが含む点の個数 = $ Tが含む(t-1)-flatの個数 = $ \theta_t

補足: $ 1\le t\le k-1

④$ \Sigmaのt-flatである$ Tと、$ Tを含まない超平面$ Hは、(t-1)-flatで交わる

補足: $ 1\le t\le k-2

どういう意味 #??

$ P\in\Sigmaを通るlineの本数 = $ P\in\Sigmaを含む超平面の個数 = $ \theta_{k-2}

t-flatである$ Tに対して、$ Tを含む$ \Sigmaの(t+1)-flatの個数は$ \theta_{k-2-t}

④の証明

$ T,Hに対応する$ \mathbb{F}^k_qの部分空間を$ W_1,W_2とする

$ \dim W_1 = t+1

$ \dim W_2=k-1

$ T\not\subset Hより、$ W_1\not\subset W_2なので、$ W_1+W_2=\mathbb{F}^k_q

よって$ \dim (W_1+W_2)=k

よって次元定理により$ \dim(W_1\cap W_2)=t+1+(k-1)-k=tとなり、$ W_1\cap W_2に対応する$ T\cap Hは$ (t-1)-flat